Algebra, Nevezetes Azonosságok | Mateking
Ismertek bizonyos alapvető azonosságok, amelyek általában összegek szorzattá alakítására(vagy szorzatok felbontására) vonatkoznak. Ezeket az azonosságot nevezzük köznapilag nevezetes azonosság oknak. Tartalomjegyzék 1 Néhány nevezetes azonosság 2 Források 3 További információk 4 Kapcsolódó szócikkek Néhány nevezetes azonosság [ szerkesztés] Nevezetes azonosságként számontartott azonosságok például a következők: Binomiális tétel: (Ezt az azonosságot Magyarországon nem feltétlenül szokták nevezetes azonosságként számontartani), ha páros, ha páratlan Források [ szerkesztés] onstejn, emengyajev: Matematikai zsebkönyv. Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1987 ISBN: 963 1053091 További információk [ szerkesztés] Nevezetes szorzatok I. 9.3. Nevezetes azonosságok 5.. az Nevezetes szorzatok II. az Gyakorló feladatok megoldásokkal KöMaL feladatok a nevezetes azonosságokhoz kapcsolódóan Kapcsolódó szócikkek [ szerkesztés] Hatvány Elemi algebra
9.3. Nevezetes Azonosságok 5.
Hatványozás azonosságai: 1. \( (a·b)^{n}=a^{n}·b^{n} \) Egy szorzatot tényezőnként is lehet hatványozni. 2. \( \left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{b^n} \) Egy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy külön hatványozzuk a számlálót és külön a nevezőt. 3. \( \left(a^{n} \right) ^{k}=a^{n·k} \) Egy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. 4. \( a^{n}·a^{m}=a^{n+m} \) Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. 5. \( \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \) Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. Bizonyítások: A bizonyításoknál a pozitív egész kitevőjű hatvány fogalmát alkalmazzuk. A hatványozás fogalmának kiterjesztésekor ezek az azonosságok továbbra is érvényben vannak. ( Permanencia-elv. ) 1. (a⋅b) n =(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅…. ⋅(a⋅b) n-szer a hatványozás definíciója szerint. A jobb oldali kifejezésben a szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonsága alapján a tényezők más sorrendben írva: (a⋅b)⋅(a⋅b)⋅(a⋅b)⋅….
Az első tagot szorzattá alakítva, majd elvégezve a beszorzást, háromtagú összeggé tudod átalakítani a kifejezést. Van esetleg ennél gyorsabb kiszámolási mód is, amelyet minden hasonló feladatnál tudnánk használni? Hogyan kellene két tag összegét vagy két tag különbségét négyzetre emelni? Az összeszorzás helyett használhatod a képletet! Vedd az első tag négyzetét, majd az első és a második tag kétszeres szorzatát, és ehhez add hozzá a második tag négyzetét! Így megspórolod a levezetést. Ha mindkét tag pozitív, tudjuk szemléltetni a képletet. Hasonlóképpen vezetheted le két tag különbségének négyzetét is. Figyelj az előjelekre! A kétszeres szorzat előjele negatív lett. Az azonosság alkalmazásával nem kell végigszámolnod a kifejezést, elég, ha behelyettesítesz a képletbe. Geometriai bizonyítása hasonló az előzőhöz, de itt a négyzetek egymásba vannak építve. Az egész négyzet területe ${a^2}$ (ejtsd: a a négyzeten), melyet most feldarabolunk 4 részre. Ha összeadod a területeket, tényleg ${a^2}$-et kapsz.